距離の公式

座標平面で2点を結ぶと、ななめの線になります。このななめの線の長さが、2点のあいだの距離です。

2点の横の差を $\Delta x$、縦の差を $\Delta y$ とすると、直角三角形ができます。

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

この直角三角形の斜辺が、求めたい距離です。

だから、ピタゴラスの定理

$$a^2 + b^2 = c^2$$

を使って、

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

となります。

横にどれだけ離れているかと縦にどれだけ離れているかが分かれば、ななめの距離を出せる公式です。

例1：点 A(1, 2) と点 B(4, 6)

横の差:

$$x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3$$

縦の差:

$$y_2 - y_1 = 6 - 2 = 4$$

公式に入れる:

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

答え: 距離は 5 です。

横が 3、縦が 4、ななめが 5 の直角三角形と同じです。ピタゴラスの定理の 3:4:5 が座標平面に現れています。

例2：点 A(-2, 1) と点 B(3, 13)

横の差:

$$3 - (-2) = 5$$

縦の差:

$$13 - 1 = 12$$

$$d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$$

答え: 距離は 13 です。

マイナスの座標があっても、差を取れば同じように計算できます。

座標に単位がある場合は、距離にも同じ単位がつきます。座標が m で表されているなら距離も m、km なら距離も km です。

座標がただの数として与えられている場合は、距離も「単位なしの長さ」として扱います。

距離の公式は、ピタゴラスの定理を座標平面で使うための公式です。

ピタゴラスの定理では

$$a^2+b^2=c^2$$

でした。座標平面では

$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = d$$

と考えます。だから

$$d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$$

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

になります。